有限数学示例

$x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

解题步骤 3

代入 $4$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $4$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.1

将 $4$ 代入多项式。

$4^{3} - 8 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 20$

解题步骤 3.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 - 8 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 20$

解题步骤 3.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 - 8 \cdot 16 + 21 \cdot 4 - 20$

解题步骤 3.4

将 $- 8$ 乘以 $16$ 。

$64 - 128 + 21 \cdot 4 - 20$

解题步骤 3.5

从 $64$ 中减去 $128$ 。

$- 64 + 21 \cdot 4 - 20$

解题步骤 3.6

将 $21$ 乘以 $4$ 。

$- 64 + 84 - 20$

解题步骤 3.7

将 $- 64$ 和 $84$ 相加。

$20 - 20$

解题步骤 3.8

从 $20$ 中减去 $20$ 。

$0$

解题步骤 4

因为 $4$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 4$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20}{x - 4}$

解题步骤 5

用 $x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$ 除以 $x - 4$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$4$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$21 x$

$20$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $- 4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x^{2} + 16 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$

解题步骤 5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$

解题步骤 5.12

将被除数中的最高阶项 $5 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$

解题步骤 5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

解题步骤 5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x - 20$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

解题步骤 5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

解题步骤 5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 4 x + 5$

解题步骤 6

将 $x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$ 书写为因数的集合。

$(x - 4) (x^{2} - 4 x + 5)$

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